Forside > Matematik > Funktionsundersøgelse

Funktionsundersøgelse

Brugervurdering: / 12
DårligBedst 

De­fini­ti­onsmængden for funk­ti­onen f(x): Dm(f)

Hvad er det?

  • De x’er, som f kan an­vendes på. Gra­fens bred­de på x-ak­sen.

Hvor­dan fin­des den?

  • Som re­gel an­gi­vet ved si­den af funk­ti­onen el­ler i teks­ten. Hvis der ik­ke står no­get må man gå ud fra, at al­le re­el­le tal kan bru­ges som x. MEN hvis funk­ti­onen er fx «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«msqrt»«mi»x«/mi»«/msqrt»«/math», så må x jo ik­ke være ne­gativ, og så er de­fini­ti­onsmængden al­le ik­ke ne­gati­ve tal. Hvis vi ser på ln(x) er Dm(f) også begrænset, da vi kun kan ta­ge ln til po­siti­ve tal.

Skri­ves som:

  • Dm(f) = [-3;4] el­ler Dm(f) = ]-∞; -3] el­ler Dm(f) = R

Nul­punk­ter

Hvad er det?

  • De x’er, hvor f(x) = 0

Hvor­dan fin­des den?

  • Løs lig­ningen f(x) = 0

Skri­ves som:

  • Nul­punk­ter for f er x = 0 v x = 3 v x = 6

For­tegn­sun­dersøgel­se

Hvad er det?

  • Mel­lem nul­punk­ter­ne og ved ”hul­ler i Dm(f)” har f(x) sam­me for­tegn1. Nul­punk­ter og

hul­lerne de­ler Dm(f) i in­terval­ler, hvor f(x) > 0 (po­sitiv) el­ler f(x) < 0 (ne­gativ).

Hvor­dan fin­des den?

  • Løs lig­ningen f(x) = 0. Find ”hul­lerne” i Dm(f).
  • Tag de­ref­ter et tilfældigt x, der lig­ger uden­for/mel­lem nul­punk­ter­ne/hul­lerne og sæt det ind i funk­ti­on­sudt­ryk­ket for f. Da fin­der du ud af, om funk­ti­onen er po­sitiv el­ler ne­gativ for det x.

Og der­med i he­le det in­terval.

Skri­ves som:

  • f(x) > 0 for x ∈ ]0;3[
  • f(x) < 0 for x ∈ ]-∞; 0[  ∪  ]3, 6[  ∪  ]6, ∞ [

Mo­noto­nifor­hold

Hvad er det?

  • At fin­de de in­terval­ler hvor funk­ti­onen vok­ser el­ler af­ta­ger.

Hvor­dan fin­des den?

  • Dif­fe­ren­ti­er f og løs lig­ningen f’(x) = 0.
  • Lav for­tegn­sun­dersøgel­se for f’: Tag et tilfældigt x, der lig­ger uden­for/mel­lem nul­punk­ter­ne/hul­lerne og sæt det ind i funk­ti­on­sudt­ryk­ket for f’. Så fin­der du ud af om funk­ti­onen f’ er po­sitiv el­ler ne­gativ for det x. Og der­med i he­le det in­terval. Der­med ved du også om f er vok­sende el­ler af­ta­gen­de i det in­terval.

Skri­ves som:

  • f(x) er vok­sende for x ∈ ]-∞; 1] ∪ [4, 6] El­ler del op: og skriv in­terval­lerne i den rækkefølge der kom­mer.
  • f(x) er af­ta­gen­de for x ∈ [1; 4] ∪ [6, ∞ [

Vis det sådan:

Eks­tre­ma

Hvad er det?

  • At fin­de de x’er hvor f har største og mind­ste værdi (lo­kalt og glo­balt)

Hvor­dan fin­des den?

  • For de x’er hvor f’(x)=0 OG f’(x) skif­ter for­tegn i x har funk­ti­onen et eks­tre­me.
  • Hvis f vok­ser før x’et er det et mak­si­mum – hvis f af­ta­ger før x’et er det et mi­nimum.
  • He­ref­ter ta­ger man al­le de x’er hvor f’(x)=0 og sætter x’er­ne ind i reg­ne­fors­krif­ten for f(x). og y-værdi­er­ne be­reg­nes. En­de­punk­ter­ne i Dm(f) sættes også ind i f(x).
  • He­ref­ter kan man se hvil­ke x’er der er lo­kale og hvil­ke der er glo­bale eks­tre­ma.
  • Hvis funk­ti­onen er mo­notont vok­sende/af­ta­gen­de, har den ik­ke eks­tre­ma

Skri­ves som:

  • f(x) har glo­balt mak­si­mum i x= 1
  • f(x) har lo­kalt mi­nimum i x=4
  • osv…

Ven­de­tan­gent

Hvad er det?

  • At fin­de de x’er hvor f ”skif­ter humør”. Dvs. skif­ter fra at ”krum­me opad” til at ”krum­me ne­dad” (el­ler om­vendt).

Hvor­dan fin­des den?

  • For de x’er hvor f’’(x) = 0 og f’’(x) skif­ter for­tegn i x har funk­ti­onen en ven­de­tan­gent.

Skri­ves som:

  • f(x) har ven­de­tan­gent i x = 3 og x = 5

Værdimængde

Hvad er det?

  • De y værdi­er som man kan få ved at bru­ge f på x. Det gra­fen fyl­der på y-ak­sen

Hvor­dan fin­des den?

  • Eks­tre­ma og værdi­er i en­de­punk­ter­ne for Dm(f) gi­ver ”udstræknin­gen” af værdimængden.

Skri­ves som:

  • Vm(f) = [-3;4] el­ler Vm(f) = ]-∞; -3] el­ler Vm(f) = R+

Graf

Tegn gra­fen.

Brug graf­regner. Lav støtte­punk­ter. Skriv nul­punk­ter, eks­tre­ma­er ind på gra­fen. Sørg for ak­serne er ok